Непотопляемая дюжина

Словарь русского языка С.И. Ожегова дает следующее определение термину «дюжина»: «двенадцать штук (в счете однородных предметов)».

Метрическая система мер была разработана в общих чертах в очень далеком 1791 году и стала международной тоже очень давно, 20 мая 1875 года. В прошлом, 2005 году, мы отмечали сто тридцатую годовщину этого события.

Из всех положений метрической системы меня, на этот раз, интересует одно. В полном согласии с доминирующей в те годы десятичной системой счисления (о двоичной системе тогда рассуждали только сугубые теоретики), метрическая система должна была строго подчиняться десятичному принципу соотношений между различными мерами и единицами и также десятичному принципу образования кратных и дольних единиц измерений. И, в подавляющем числе случаев, это получилось (хотя и не во всех).

Но на этом красивом фоне продолжают существовать (и неплохо) двенадцати/шестидесятеричная система счисления и системы единиц, не находящихся в десятичных соотношениях.

Самый яркий пример. Секунда — это одна из основных единиц СИ. Дольные ее части — миллисекунда, микросекунда и т.д. — подчиняются десятичному принципу. А вот с кратными все не так. В минуте 60 секунд, в часе 60 минут, в сутках 24 часа, в месяце, в среднем, 30 дней. И, конечно, вынесенная в заголовке дюжина, половина суток, длительность в часах ночи или дня. Уместно также напомнить все еще действующую во многих англоязычных странах, включая США, систему «фут-фунт-секунда», в которой фут делится на дюжину дюймов.

И «виноваты» в этом ученые — жрецы Древнего Вавилона (Халдеи), жившие примерно четыре тысячи лет тому назад.

В чем же дело? Почему вавилоняне придумали такую сложную систему счисления (и соответствующую ей систему мер)? И почему она оказалась такой жизнеспособной? Вот сколько разных и трудных вопросов. Эти вопросы особенно важны, если вспомнить громадную роль, которую сыграли системы счисления в развитии математики и всех наук, использующих математические методы (включая, безусловно, и метрологию). Рациональная система счисления — могучий инструмент прогресса науки, нерациональная — ее тормоз. Нам, привыкшим пользоваться десятичной позиционной системой счисления, неведомы трудности людей, пользовавшихся, например, системой римских цифр и чисел. Несчастные (в этом смысле) римские юноши и девушки вынуждены были заучивать не только таблицу умножения, но и таблицы сложения, вычитания и, особенно, деления.

Как часто поступают авторы публикаций (я не исключение), обращусь к классикам. А.П. Стахов в своей монографии «Введение в алгоритмическую теорию измерений» писал: «Существуют две концепции происхождения систем счисления: счетная и метрологическая. Концепция «пальцевого счета» достаточно убедительно объясняет происхождение десятичной, пятеричной, двадцатеричной систем счисления, однако сталкивается с большими трудностями при объяснении происхождения систем счисления с «непальцевыми» основаниями, в частности, вавилонской шестидесятеричной системы счисления (в которой единица высшего разряда содержит шестьдесят единиц низшего разряда)».

Некоторые ученые полагают, что происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т. д.

На этот вопрос попытался ответить известный немецкий историк математики О. Нейгебауер в своей книге «Лекции по истории античных математических наук». Он выдвинул гипотезу о метрологическом происхождении подобных систем счисления.

В чем же заключается гипотеза Нейгебауера? Он исходит из исторической обстановки в эпоху Древнего Вавилона (Халдеи). Эта страна играла роль «центра мира». Ее политические и торговые связи охватывали и сопредельные и удаленные страны. В них существовали системы с различными соотношениями крупных и мелких мер — 1:2; 1:3; 1:4; 1:5; 1:10. Для того, чтобы в этом убедиться, не обязательно даже обращаться к древним мерам. Русская сажень делилась на 3 аршина, английский ярд — на 3 фута, аршин — на 4 линейных четверти. Контарь равнялся ¹/₄ берковеца, ведро делилось на 4 четверти, а каждая четверть равнялась 4 винным бутылкам, английский галлон равен 4 квартам. Десятина делилась на две четверти (меры площади), в версте было 500 саженей, один лот содержал 3 золотника. В российском морском флоте бочка для пресной воды содержала ее 2 ведра, бочка для пороха — 3 пуда пороха. Польский центнер делился на 4 штейна и т.д.

Возникла необходимость в объединенной системе мер, в которую вписывались все частные системы. Такой системой и стала шестидесятеричная: 60 делится на 2 и на 3, и на 4, и на 5, и на 10, и даже на 12. Нейгебауер пишет, что появление позиционной шестидесятеричной вавилонской системы «имеет своим источником взаимоотношение между возникновением этой системы счисления и ходом развития системы мер». Я уже упомянул, что шестидесятеричная система счисления и ее подразделение — двенадцатеричная — благополучно дожила до наших дней и что она широко используется при измерениях интервалов времени. Во времена французской революции пытались, правда, поделить час на 100 минут, но ничего из этого не вышло. В восьмидесятых годах ХХ столетия Центральная машинно-испытательная станция (ЦМИС), расположенная в Московской области, заказала для упрощения оформления хронометражных карт часы с делением часа на 100 минут, а минуты — на 100 секунд. Часовой завод часы сделал, но опять-таки ничего не получилось. Хронометристы не захотели ими пользоваться. А если начальство настаивало, их просто ломали. А вот часами, где на циферблате 24 часа, на флоте пользуются с удовольствием, это очень удобно.

Счет шестидесятками дожил до наших дней не только в измерении углов и времени. Еще несколько десятилетий тому назад на Украине, в Польше, Прибалтике и Германии яйца, яблоки, груши продавали на копы — кучи, по 60 штук в каждой. А отсчитывали копу так: на одной руке загибали пальцы, пока не получали, что отсчитано пять штук, а на другой руке прикосновением большого пальца к суставам остальных четырех указывали количество этих пятерок. Поскольку число суставов на четырех пальцах равно 12, получилось 12 пятерок, то есть 60.

Гипотеза Нейгебауера не пользуется всеобщим признанием. Она, на мой взгляд, слегка однобока и не учитывает обстановку того далекого времени, квалификацию и мировоззрение вавилонских ученых-жрецов. А они, как мне кажется, сочетали высокую общефизическую, астрономическую и метрологическую квалификацию с верой в то, что весь мир — это воплощение воли богов. И высшей оценкой любой теории (это опять мое личное мнение) являлось ее соответствие божественному предопределению.

Попробую оценить с этой точки зрения вавилонскую систему счисления и мер, сознавая, что вступаю на зыбкую почву, предположений; почти фантастики. Жрецы хорошо знали, что Вселенная создана богами таким образом, что год (в первом приближении) содержит 360 дней и 12 лунных месяцев. Знали они и то, что Солнце свой видимый с Земли путь совершает по окружности. Отсюда понятно деление видимой солнечной орбиты на 360 частей, а полного угла (оборота) — на 360 градусов. Возможно, отсюда происходят и 12 зодиакальных созвездий (их можно было насчитать и 10, и 14). Ясно, что тридцатидневный месяц органично вписался в вавилонскую систему.

Еще лучше и убедительнее получилось с сутками. В государствах, расположенных недалеко от экватора (Вавилон, Египет) отношение продолжительности дня и ночи меняется не очень сильно. Отсюда естественным является деление суток на дюжину дневных и дюжину ночных часов. Таким образом длительность суток оказалась равной 24 часам, т.е. двум двенадцатичасовым интервалам времени, двум дюжинам часов.

Далее, жрецам, скорее всего, был известен суточный цикл жизнедеятельности большинства живых организмов, очевидно, с их точки зрения, тоже установленный богами, а с нашей точки зрения, обусловленный генетически. Вот и получается, что в глазах жрецов, вавилонская система счисления и единиц измерений была овеществлением божественного промысла, предопределения, а, следовательно, истинной (повторяю, это мои личные рассуждения).

И вот что еще очень интересно. Здоровый взрослый мужчина в состоянии покоя делает 12 вдохов-выдохов в минуту, а его сердце делает, тоже в минуту, 60 сокращений. Учитывали древневавилонские жрецы эти факторы или нет? Кто знает.

Отмечу, что с вавилонской системой мы встречаемся, не только глядя на часы. Сервизы делаются на 6, 12, 24 персоны. Наборы цветных карандашей также, чаще всего, содержат 6 или 12 карандашей. Английский фут делится на 12 дюймов, слово «дюжина» по-прежнему употребляется в разговорной речи, хотя почти вышла из употребления единица измерения «гросс», равная 12 дюжинам.

Дюжина гроссов называлась «масса», однако сейчас такое значение слова «масса» мало кому известно. Хотя, вполне возможно, что именно в нем лежит корень таких употребительных выражений, как «масса дел», «масса людей» и т. п.

И совсем забыт фудер — старинная мера объема, равная 144 ведрам. В фудерах измеряли громадные бочки для хранения вина.

Так что еще неизвестно, какая система надуманнее или естественнее — десятичная или шестидесятиричная. И не в этом ли секрет ее живучести.

И еще один вопрос для богословов, который я задаю со страхом, почти суеверным. Ведь у Иисуса Христа тоже было именно 12 учеников-апостолов!? Может быть, за 2000 лет, прошедших со времен создания вавилонской системы до Рождества Христова, дюжина, число 12, настолько прочно закрепилась в нашем подсознании, что появляется (или проявляется) в различные подходящие (или совсем неподходящие) моменты?

Why has number 12 («dozen») fixed in our subconsciousness so strongly? In this article, the author tells about the «heritage» of the duodecimal notation, existing in metric system.

Автор(ы): Брянский Л.Н.
Номер журнала: КИПиС 2006 № 3