Быстрое преобразование Фурье: "подводные камни"

Для спектрального анализа осциллографических сигналов широко используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ или FFT – Fast Fourier Transform). Этот быстрый и мощный инструмент даёт хорошие возможности исследования спектра сигнала, но, к сожалению, он не лишён недостатков.

Основная проблема – требование использовать для БПФ только сигналы определённой длины, конкретно – длина сигнала в выборках должна быть степенью двойки. Т.е. допустимо провести БПФ с массивом из 1024 (или 512, или 2048) точек сигнала, но не с массивом из 1000 (или 500 или 2000) точек. В результате, обычный калибровочный сигнал частотой 1 КГц, снятый на частоте дискретизации 10 МГц, невозможно подвергнуть БПФ на его длине периода, который в этих условиях будет составлять 1000 точек, придётся либо использовать для анализа область чуть больше – 1.024 периода сигнала (и тем самым гарантированно исказить спектр сигнала, ведь преобразование Фурье должно проводиться ровно на участке периода сигнала либо кратном ему), либо предварительно провести передискретизацию тысячеточечного сигнала на виртуальную частоту дискретизации 10.24 МГц, и, возможно, исказить в результате применяемой интерполяции форму сигнала, что в итоге также приведёт к искажениям спектра.

Другая проблема – дискретность самой осциллограммы. Сигнал измеряется в определённые моменты времени, и информация о его состоянии в промежутках между этими точками отсутствует. В результате, обычная нестабильность осциллограммы по горизонтали в ±1 выборку, может приводить, при относительно невысокой частоте дискретизации к заметным искажениям. Допустим, на экране осциллографа длиной в 1024 точки мы наблюдаем 20-30 периодов исследуемого сигнала. Это будет соответствовать 30-50 точкам измерений на один период, т.е. ошибка на 1-2 выборки приведёт к ошибке периода БПФ в 2-7%, которая выразится в возникновении заметных ложных артефактов на изображении спектра.

Для того, чтобы избежать этих "рифов" БПФ, надо хорошо представлять себе механизм работы этого алгоритма, использовать его аккуратно, при необходимости применять подходящие оконные функции.

Результат БПФ - это результат правильно выстроенных краевых условий, т.е. области сигнала (неразрывно периодической), и оконной функции, подавляющей несовершенство краевых условий (несовпадения периода сигнала с областью преобразования).

Ложные пики - признак некорректных краевых условий, т.е. ложных частот, вносимых разрывом периодической функции.

Все это можно наблюдать с помощью TEKTRONIX DPO3000 и Aktakom ADS-2061M - т.е. это не зависит от производителя прибора, а, скорее, от умения пользователя и его понимания сути БПФ.

При изучении возможностей FFT преобразования (БПФ) следует учитывать что, точность синхронизации в цифровом осциллографе не может быть лучше, чем ± 1 выборка (дискрет). Может показаться, что это незначительная ошибка, но влияние этой ошибки на результат FFT виден на иллюстрациях 1 и 2. Для иллюстрации (использован обычный MS Excel со встроенным пакетом анализа) вычислены спектры меандра для осциллограммы в 2048 точек, причём на одном взят меандр с периодом в 100 точек, а на другом - в 99 точек.

Легко можете заметить, что на второй спектрограмме (99 точек, рис. 2.) появились ложные пики во впадинах между истинными пиками спектра, которых нет на первой иллюстрации.

С помощью специальных приёмов и предварительной обработки осциллограммы можно добиться более точного FFT преобразования без ложных пиков (рис.2), но во многих современных цифровых осциллографах эконом класса используется простой алгоритм БПФ, без дополнительного преобразования и таким образом периодически могут возникать ложные пики в отображаемой спектрограмме.