Интерполяция в цифровой осциллографии

Дискретные измерения и проблема восстановления сигнала

Поскольку цифровые осциллографы, в отличие от своих аналоговых собратьев, измеряют входной сигнал не непрерывно, а только в дискретные моменты времени, то при представлении осциллограммы пользователю возникает проблема: с одной стороны, прибор должен максимально точно отобразить результаты измерений, с другой – трудно визуально воспринять форму сигнала, изображённого просто набором точек. Ниже приведен анимированный рисунок с изображением осциллограммы дискретными точками и непрерывной линией [эти, и все последующие иллюстрации в статье получены с помощью программы AKTAKOM Oscilloscope Pro версии 2.0.4.5 и осциллографа ACK-4106]. Разглядеть сходу в точечных орнаментах первого рисунка определенный сигнал практически невозможно. Так что необходимость для цифрового осциллографа в умении «рисовать непрерывную линию по отдельным точкам» даже не оспаривается, вопрос в другом: как это сделать?

Изображение осциллограммы дискретными точками и непрерывной линией

Линейная интерполяция

Задача восстановления аналогового сигнала по его дискретным отсчётам, с точки зрения математики, это не что иное, как хорошо известная задача интерполяции непрерывной функции F(x) по конечному числу N её точек X₀, X₁,… X_i,… X_N. Эти точки, в которых значение функции задано, называются узлами интерполяции. Поскольку в общем случае характер интерполируемой функции заранее неизвестен, то обычно задача интерполяции сводится к задаче кусочной аппроксимации: необходимо подобрать простые аналитические функции, которые будут считаться приближениями к исходной функции между узлами. В самих узлах значения аппроксимирующих функций должны совпадать с заданными значениями исходной функции. Самым простым решением будет аппроксимация линейными функциями вида f_i(x)=a+b(x-X_i). Геометрически такая интерполяция представляет из себя ломаную линию, состоящую из соединённых в узлах прямолинейных отрезков:

Линейная интерполяция

Интерполяция полиномами, проблема звона

Угловатый вид линейной интерполяции сразу наводит на мысли, что это не самое точное представление исходного сигнала. Действительно, мы знаем, что полоса пропускания измерительного тракта ограничена. Спектр же изображённой на рисунке выше остроугольной осциллограммы бесконечен. Следовательно, более верным представлением будет аппроксимация более гладкой функцией.

Такое решение даёт, например, метод интерполяции кусочно-кубическими функциями. Идея метода состоит в том, что исходная функция на каждом отрезке [X_i, X_i+1] аппроксимируется многочленом третьей степени (т.е. функцией вида f_i(x)=a+b(x-X_i)+c(x-X_i)²+d(x-X_i)³), при этом в узлах совпадают не только значения соседних многочленов, но и их первые производные (т.е. f_i(X_i+1)=f_i+1(X_i+1) и f’_i(X_i+1)=f’_i+1(X_i+1)). Значения производных интерполирующих многочленов выбираются произвольно, исходя из дополнительной информации о характере исходной функции. Если никакой дополнительной информации нет, то обычно в качестве значений производных используются разделённые разности: f’(X_i)=(F(X_i+1)-F(X_i))/(X_i+1-X_i).

Выполнение условия непрерывности производной гарантирует гладкость итоговой осциллограммы, но вызывает неприятный побочный эффект, называемый эффектом звона.

Обратите внимание на появившиеся выбросы перед фронтом и срезом. Если выброс после фронта ещё можно объяснить возникающими после резкого изменения состояния сигнала затухающими колебаниями, то колебания, возникающие заранее перед событием - физически не возможны.

Интерполяция кубическими многочленами Бесселя

На самом деле это ложные выбросы и их появление на осциллограмме обусловлено только выбранным характером интерполирующей функции.

Пользуясь произволом в определении значений производных интерполирующих многочленов, можно попытаться минимизировать эти искажения. Например, интерполяционный метод Акимы учитывает при выборе производной в узлах гладкость исходной функции на соседних с этим узлом участках. Для этого производная в каждом узле полагается равной среднему значению от разделённой разности первого порядка справа и слева, причём усреднение выполняется с весами, соответствующими модулю разделённой разности второго порядка с той же стороны. Пример интерполяции Акимы впредставлен ниже, она выполнена для того же набора узловых точек, что и интерполяция Бесселя.

Интерполяция сплайнами Акимы

Sinc-интерполяция (Sin(X)/X), ограничения применимости, фильтр Ланцоша

Интерполяция кусочно-кубическими функциями, или сплайн-интерполяция, как её часто называют, хорошо работает в случаях имеющегося запаса по частоте дискретизации, т.е. в случаях, когда количество точек измерений на период достаточно велико (десятки и более). Но при работе осциллографа в предельных ситуациях, когда частота измеряемого сигнала приближается к частоте Котельникова, т.е. к половине частоты дискретизации, сплайны дают совершенно не удовлетворительный результат. На рисунке 6 показан пример интерполяции синусоидального сигнала частоты 39 МГц, оцифрованного с частотой 100 МГц. Как видите, интерполяция сплайнами (синяя и зелёная линии), показывают форму сигнала весьма далёкой от исходного синуса. Это и понятно: точек измерений мало и соответственно мало информации о форме сигнала, и нет никакого способа догадаться, что между двумя точками рядом с линией запуска (пунктирная вертикальная линия в центре рисунка) сигнал имеет вершину с амплитудой, значительно превышающей ближайшие узловые точки. Или всё же такой способ есть?

Да, такой способ имеется. Пусть количество точек на период ограничено, но учитывая дополнительные соображения, мы можем восстановить форму сигнала. Предположим, что спектр измеряемого сигнала ограничен частотой Котельникова. Действительно, ведь если это не так, то нарушены условия применимости прибора, и сделанные измерения заведомо некорректны, и, следовательно, не подлежат обработке. Тогда для построения интерполяционной кривой можно воспользоваться формулой интерполяции Sin(X)/X, являющейся следствием теоремы Котельникова:

Заметив, что в нашем случае разность между узловыми точками постоянна и равна периоду дискретизации, а также используя традиционное обозначение

можем записать формулу sinc-интерполяции в более кратком виде:

Темно-красная линия на рисунке построена именно с помощью этого вида интерполяции, и её преимущество перед сплайн-интерполяцией в этом случае очевидно.

Интерполяция при низкой частоте дискренизации. Частота сигнала 39 МГц, частота дискретизации 100 МГц. Синяя линия – интерполяция многочленами Бесселя, зелёная – интерполяция методом Акимы, красная – sinc-интерполяция

Интерполяция многочленами Бесселя, интерполяция методом Акимы, sinc-интерполяция.

К сожалению, и этот метод не лишён недостатков. Во-первых, как видно из его базовой формулы, он требует для вычисления каждой промежуточной точки суммирования бесконечного ряда слагаемых, учитывающих все возможные дискретные измерения сигнала в прошлом и будущем, что, конечно, физически не реализуемо. И, во-вторых, даже если мы волевым решением ограничимся только имеющимися в осциллограмме точками, вычислительная сложность метода значительно выше, чем при интерполяции сплайнами: если для вычисления кусочных многочленов количество операций растёт линейно с увеличением длины осциллограммы, то для sinc-интерполяции, как и для родственного ей преобразования Фурье, объём вычислений растёт как квадрат этой длины.

На практике обычно и с первой, и со второй проблемами борются использованием оконных функций, ограничивающих область вычислений интерполируемой точки некоторыми небольшими окрестностями, причём вес ближайших узловых точек выше, чем дальних. Подходящими оконными функциями могут быть выбраны такие, как треугольное окно или окно Гаусса. В программе AKTAKOM Oscilloscope Pro для этой цели применяется оконная функция Ланцоша, также построенная на использовании sinc-функции. Коэффициенты этой функции вычисляются следующим образом:

Здесь параметр r – это «радиус фильтра», показывающий размер окна.

Третий недостаток sinc-интерполяции является продолжением его основного достоинства – ограниченности спектра восстанавливаемого сигнала. Посмотрите на иллюстрации ниже. Здесь мы наблюдаем прямоугольный сигнал с частотой 5 МГц, оцифрованный с частотой 100 МГц. Это максимальная частота дискретизации реального режима для осциллографа ACK-4106, но этот прибор имеет ещё и стробоскопический режим, поэтому его полоса пропускания выше необходимых по Котельникову 50 МГц и тоже составляет 100 МГц. В результате sinc-интерполятор, обрезая в осциллограмме все компоненты спектра выше 50 МГц, показывает значительные звоновые искажения сигнала (тёмно-красная линия), особенно заметные по сравнению с интерполяцией по методу Акимы (зелёная линия).

Интерполяция прямоугольного сигнала. Частота сигнала 5 МГц, частота дискретизации 100 МГц. Зелёная линия – интерполяция методом Акимы, красная – sinc-интерполяция

На рисунке приведены спектры сигналов после интерполяции Акимы и после sinc-интерполяции.

Спектр интерполированных сигналов. Диапазон графика по горизонтали – от 0 до 100 МГц. Курсором отмечена частота 50 МГц – половина частоты дискретизации. Для уменьшения размытия гармоник использовано окно Ланцоша. Красным изображён спектр прямоугольного сигнала после интерполяции методом Акимы, чёрным – спектр того же сигнала после sinc-интерполяции. Заметен резкий спад в полосе частот выше частоты Котельникова.

Плюсы и минусы различных видов интерполяции. Автоматический выбор метода

Подведём итоги. Самый простой и быстрый способ интерполяции – линейная интерполяция, просто соединяющая узловые точки прямыми отрезками. При подробном рассмотрении формы сигнала качество картинки неудовлетворительное, но в случаях, когда частота исследуемого сигнала невелика по сравнению с частотой дискретизации, а количество точек, изображаемых на экране, напротив, сравнимо с его разрешением, использование этого метода оправдано из-за самой высокой скорости работы.

Интерполяция сплайнами несколько медленнее линейной, но качество воспроизведения сигнала значительно выше. Используя различные методы сплайн-интерполяции, например, Бесселя для более гладкого восстановления сигнала или Акимы для минимизации ложных осцилляций, можно качественно и быстро восстанавливать низкочастотные сигналы.

Наконец, sinc-интерполяция представляет наилучшие возможности восстановления высокочастотных сигналов по минимуму узловых точек. Однако, является самой медленной из рассмотренных (например, на моём компьютере sinc-интерполяция полной осциллограммы из 64000 точек в программе AKTAKOM Oscilloscope Pro занимала чуть более трёх секунд, при этом сплайн-интерполяция той же осциллограммы – всего 250 миллисекунд). Кроме того, заведомо ограничивает спектр восстанавливаемого сигнала, что может приводить к появлению сильного звона на участках сигнала с крутыми фронтами.

Oscilloscope Pro позволяет пользователю как самостоятельно выбрать метод интерполяции, который он считает наиболее подходящим для его условий измерений (или вовсе выключить интерполяцию), так и указать программе автоматически выбирать метод в зависимости от параметров сигнала.

Автор(ы): Афонский А.А., Суханов Е.В.
Номер журнала: КИПиС 2010 № 5
Читать в PDF: Читать